Wahadło Oberbecka
Źródło: Matura fizyka rozszerzona 4.15 — Matura maj 2019, formuła 2015 (MFA-R1_1P), zad. 3
Wahadło Oberbecka: jednorodny walec (promień 𝑟) z czterema prostopadłymi prętami, na których symetrycznie zamocowano jednakowe obciążniki; całość obraca się bez tarcia wokół poziomej osi O. Bryłę wprawia w ruch ciężarek P (masa 𝑚) zawieszony na lekkiej nierozciągliwej nitce nawiniętej na walec; nitka nie ślizga się. Mierzono czas 𝑡 opadania ciężarka z wysokości ℎ; na początku układ spoczywał.
Podpunkt 3.1
Na opadający ciężarek działają: siła napięcia nitki⃗ 𝐹𝐵 i siła ciężkości⃗ 𝐹𝑔, a na walec (w punkcie styku nitki A) – siła napięcia nitki⃗ 𝐹𝐴. Wpisz relacje (>, =, <): 𝐹𝐵 … 𝐹𝑔 oraz 𝐹𝐵 … 𝐹𝐴. (0–2 pkt)
Podpunkt 3.2
Zmierzono czas 𝑡 = 1,6 s opadania z wysokości ℎ = 0,960 m (ruch jednostajnie przyspieszony).
a) Zapisz wzór na 𝑎 przez 𝑡 i ℎ i oblicz 𝑎.
b) Wkład niepewności Δ𝑥 wielkości 𝑥 do niepewności 𝑦 = 𝑓(𝑥) określ jako Δ𝑦 = 1 2 |𝑓(𝑥 + Δ𝑥) − 𝑓(𝑥 − Δ𝑥)|. Oblicz niepewność 𝑎, gdy pomiar 𝑡 jest dokładny, a Δℎ = 5 mm.
c) Oblicz niepewność 𝑎, gdy ℎ jest dokładne, a Δ𝑡 = 0,1 s.
d) Ustal, która niepewność (Δ𝑡 czy Δℎ) bardziej wpływa na niepewność 𝑎. (0–5 pkt)
Podpunkt 3.3
Wyprowadź wzór na moment bezwładności części obrotowej: 𝐼 = 𝑚𝑟2 ( 𝑔 𝑎 − 1). (0–3 pkt)
Podpunkt 3.4
Obciążniki zamocowano bliżej osi obrotu. Jak zmieniły się: 1. moment bezwładności układu obciążników, 2. siła napięcia nitki? (0–2 pkt)
Odpowiedź
Podpunkt 3.1
.
Podpunkt 3.2
a) Przyspieszenie 0,750 m/s².
b) Wkład niepewności wysokości około 0,004 m/s².
c) Wkład niepewności czasu około 0,09 m/s².
d) Większy wpływ ma niepewność czasu — około 24 razy większy.
Podpunkt 3.3
.
Podpunkt 3.4
Moment bezwładności obciążników maleje; przyspieszenie rośnie, a napięcie nici maleje.
Rozwiązanie
Podpunkt 3.1
Ciężarek przyspiesza w dół, więc 𝐹𝑔 − 𝐹𝐵 = 𝑚𝑎 > 0: 𝐹𝐵 < 𝐹𝑔. Nitka jest lekka, więc napina się jednakowo na obu końcach: 𝐹𝐵 = 𝐹𝐴.
Podpunkt 3.2
a) ℎ = 𝑎𝑡2 2 ⇒ 𝑎 = 2ℎ 𝑡2 = 2⋅0,960 1,62 = 0,750 m/s2.
b) 𝑎 jest liniowe w ℎ: Δ𝑎ℎ = 2Δℎ 𝑡2 = 2⋅0,005 2,56 ≈ 0,004 m/s2.
c) Δ𝑎𝑡 = 1 2 ∣ 2ℎ 1,52 − 2ℎ 1,72 ∣ = 1 2 |0,853 − 0,664| ≈ 0,09 m/s2.
d) Niepewność pomiaru czasu daje wkład ok. 24 razy większy (0,09 wobec 0,004 m/s2) – w większym stopniu wpływa Δ𝑡 = 0,1 s (względna niepewność 𝑡 wynosi ok. 6%, a w dodatku 𝑎 ∝ 𝑡−2 ją podwaja; względna niepewność ℎ to tylko ok. 0,5%).
Podpunkt 3.3
Ciężarek (II zasada dynamiki): 𝑚𝑔 − 𝐹𝐵 = 𝑚𝑎. Walec z prętami: 𝐼𝜀 = 𝐹𝐴𝑟. Nitka nie ślizga się: 𝑎 = 𝜀𝑟; nitka lekka: 𝐹𝐴 = 𝐹𝐵 = 𝐹 . Stąd 𝐹 = 𝑚(𝑔 − 𝑎), 𝐼 𝑎 𝑟 = 𝑚(𝑔 − 𝑎)𝑟 ⇒ 𝐼 = 𝑚(𝑔 − 𝑎)𝑟2 𝑎 = 𝑚𝑟2 ( 𝑔 𝑎 − 1) . (Alternatywnie z zasady zachowania energii: 𝑚𝑔ℎ = 𝑚𝑣2 2 + 𝐼𝜔2 2 , 𝑣 = 𝜔𝑟, 𝑣2 = 2𝑎ℎ.)
Podpunkt 3.4
1. Moment bezwładności obciążników zmalał (𝐼 ∝ ∑ 𝑚𝑖𝑅2 𝑖 ).
2. Przy mniejszym 𝐼 przyspieszenie 𝑎 = 𝑔 1+𝐼/(𝑚𝑟2) rośnie, więc siła napięcia 𝐹 = 𝑚(𝑔 − 𝑎) zmalała.