Beczka staczająca się z pochylni
Źródło: Matura fizyka rozszerzona 4.2 — Matura maj 2008, stara formuła, poziom rozszerzony, zad. 1
Beczki z gipsem (jednorodny walec, średnica 40 cm, masa 100 kg, masę blachy pomijamy) staczają się bez poślizgu z pochylni z wysokości 100 cm; 𝑔 = 10 m/s2, 𝐼 = 1 2 𝑚𝑟2.
Podpunkt 1.1
Wymień siły działające na staczającą się beczkę. (0–2 pkt)
Podpunkt 1.2
Oblicz siłę nacisku beczki na równię nachyloną pod kątem 30∘ (cos 30∘ ≈ 0,87). (0–2 pkt)
Podpunkt 1.3
Wykaż, że prędkość liniowa beczki po stoczeniu się wynosi 3,65 m/s. (0–4 pkt)
Podpunkt 1.4
Na trawie działa na beczkę stała siła oporu 50 N. Korzystając ze związku energii i pracy, oblicz, jak daleko potoczy się beczka. (0–2 pkt)
Podpunkt 1.5
Wykaż, że zmiana wypełnienia beczki z gipsu na cement (inna masa) nie zmienia przyspieszenia kątowego beczki. (0–2 pkt)
Odpowiedź
Podpunkt 1.1
Ciężar: w dół; reakcja: prostopadle od równi; tarcie statyczne: w górę równi.
Podpunkt 1.2
Nacisk: 870 N.
Podpunkt 1.3
Prędkość: około 3,65 m/s.
Podpunkt 1.4
Droga: 20 m.
Podpunkt 1.5
Przyspieszenie kątowe nie zależy od masy: .
Rozwiązanie
Uwaga: Do tego arkusza nie udało się dotrzeć do oficjalnego klucza – rozwiązania przygotowano samodzielnie.
Podpunkt 1.1
Ciężar⃗ 𝐹𝑔, siła reakcji (sprężystości) równi⃗ 𝑁 prostopadła do równi oraz siła tarcia statycznego⃗ 𝑇 wzdłuż równi, skierowana w górę równi (przyłożona w punkcie styku – to ona nadaje beczce przyspieszenie kątowe).
Podpunkt 1.2
𝑁 = 𝑚𝑔 cos 30∘ = 100 ⋅ 10 ⋅ 0,87 = 870 N.
Podpunkt 1.3
𝑚𝑔ℎ = 𝑚𝑣2 2 + 1 2 ⋅ 1 2 𝑚𝑟2 ⋅ 𝑣2 𝑟2 = 3 4 𝑚𝑣2 ⇒ 𝑣 = √ 4𝑔ℎ 3 = √ 40 3 ≈ 3,65 m/s.
Podpunkt 1.4
Energia kinetyczna (postępowa i obrotowa) 𝐸 = 3 4 𝑚𝑣2 = 𝑚𝑔ℎ = 1000 J zostaje zużyta na pracę przeciw oporowi: 𝑠 = 𝐸 𝐹 = 1000 50 = 20 m.
Podpunkt 1.5
Na równi: 𝑚𝑎 = 𝑚𝑔 sin 𝛼 − 𝑇 , 1 2 𝑚𝑟2𝜀 = 𝑇 𝑟, 𝑎 = 𝜀𝑟 ⇒ 𝜀 = 2𝑔 sin 𝛼 3𝑟 – nie zależy od masy (byle wypełnienie było jednorodne i ściśle wypełniało beczkę).