Krążek i spadający na niego ciężarek
Źródło: Matura fizyka rozszerzona 4.3 — Matura maj 2012, stara formuła, poziom rozszerzony, zad. 1
Krążek o momencie bezwładności 0,01 kg ⋅ m2 obracał się bez tarcia z prędkością kątową 32 rad/s. Spadł na niego ciężarek 0,6 kg (upuszczony bez prędkości początkowej), połączony z osią nitką ślizgającą się po osi bez tarcia. Po chwili ciężarek obracał się razem z krążkiem w odległości 10 cm od osi (rozmiary ciężarka pomijamy).
Podpunkt 1.1
Jaka zasada pozwala wyznaczyć wspólną prędkość kątową? Oblicz ją. (0–3 pkt)
Podpunkt 1.2
Współczynnik tarcia ciężarka o krążek 0,3; efekty uderzenia pomijamy. Wyprowadź wzór na moment siły ciężarka działający na krążek i oblicz czas, po którym poślizg ustał. (0–3 pkt)
Podpunkt 1.3
Ciężarek spadał z wysokości 40 cm. Oblicz energię mechaniczną układu:
a) na początku;
b) po upadku i zmniejszeniu prędkości kątowej do 20 rad/s;
c) ciepło wydzielone podczas upadku. (0–4 pkt)
Podpunkt 1.4
Doświadczenie powtarzano dla różnych wysokości spadku. Naszkicuj zależność wydzielonego ciepła 𝑄 od wysokości ℎ. (0–2 pkt)
Odpowiedź
Podpunkt 1.1
Końcowa prędkość kątowa: 20 rad/s.
Podpunkt 1.2
Czas poślizgu: około 0,68 s.
Podpunkt 1.3
a) Energia początkowa: około 7,5 J.
b) Energia końcowa: 3,2 J.
c) Ciepło: około 4,3 J.
Podpunkt 1.4
Zależność liniowa rosnąca: , gdzie J. W kluczu dopuszczono też prostą wychodzącą z początku układu.
Rozwiązanie
Podpunkt 1.1
Zasada zachowania momentu pędu: 𝐼𝜔1 = (𝐼 + 𝑚𝑟2)𝜔2: 𝜔2 = 0,01 ⋅ 32 0,01 + 0,6 ⋅ 0,01 = 0,32 0,016 = 20 rad/s.
Podpunkt 1.2
Tarcie kinetyczne na ciężarek: 𝑇 = 𝜇𝑚𝑔, ramię 𝑟: 𝑀 = 𝜇𝑚𝑔𝑟. Dla krążka 𝑀 = 𝐼 Δ𝜔 Δ𝑡 , Δ𝜔 = 12 rad/s: Δ𝑡 = 𝐼Δ𝜔 𝜇𝑚𝑔𝑟 = 0,01 ⋅ 12 0,3 ⋅ 0,6 ⋅ 9,81 ⋅ 0,1 ≈ 0,68 s.
Podpunkt 1.3
a) 𝐸𝑝 = 𝑚𝑔ℎ + 1 2 𝐼𝜔2 1 = 0,6 ⋅ 9,81 ⋅ 0,4 + 1 2 ⋅ 0,01 ⋅ 1024 ≈ 2,35 + 5,12 ≈ 7,5 J.
b) 𝐸𝑘 = 2 (𝐼 + 𝑚𝑟2)𝜔2 2 = 1 2 ⋅ 0,016 ⋅ 400 = 3,2 J.
c) 𝑄 ≈ 7,5 − 3,2 = 4,3 J.
Podpunkt 1.4
Energia obrotu po zderzeniu i strata w poślizgu nie zależą od ℎ, a cała energia potencjalna 𝑚𝑔ℎ zamienia się na ciepło: 𝑄 = 𝑄0 + 𝑚𝑔ℎ – wykres liniowy rosnący, zaczynający się od 𝑄0 ≈ 1,9 J > 0 przy ℎ = 0. (Klucz CKE dopuszczał wykres liniowy rosnący zaczynający się od 𝑄 = 0; dokładnie: dla ℎ → 0 ciepło nadal wydziela się w poślizgu.)