Kołowrót nad studnią
Kołowrót w kształcie walca o masie 10 kg zamocowany jest nad studnią. Nawinięta na nim nieważka, nierozciągliwa linka ma przymocowane wiadro o masie 5 kg. 𝑔 = 10 m/s2, 𝐼 = 1 2 𝑚𝑟2.
Podpunkt 28.1
Puste wiadro opada, rozwijając linkę. Narysuj siły działające w układzie i oblicz przyspieszenie wiadra (pomiń opory i korbę). (0–6 pkt)
Podpunkt 28.2
Wiadro wypełnione wodą (masa razem 25 kg; walec o wysokości 0,4 m; objętość blachy pomijalna) jest wyciągane ruchem jednostajnym ze stanu pełnego zanurzenia. Narysuj wykres siły naciągu linki 𝐹 od drogi 𝐿 przebytej przez górny brzeg wiadra ponad lustrem wody. (0–3 pkt)
Podpunkt 28.3
Wyjaśnij, dlaczego parcie wody na dno przy wyciąganiu ruchem przyspieszonym jest większe niż przy ruchu jednostajnym. (0–2 pkt)
Odpowiedź
Podpunkt 28.1
Przyspieszenie wiadra: 5 m/s², w dół.
Podpunkt 28.2
Siła: 50 N przy pełnym zanurzeniu; rośnie liniowo do 250 N dla L = 0,4 m, a dalej pozostaje stała.
Podpunkt 28.3
Nacisk wzrasta do , ponieważ dno musi nadać wodzie przyspieszenie w górę.
Rozwiązanie
Podpunkt 28.1
Na wiadro działa ciężar 𝑀𝑔 w dół i naciąg 𝑁 w górę; na kołowrót – naciąg 𝑁 na obwodzie (oraz ciężar i reakcja osi, bez momentu). Równania: 𝑀𝑔 − 𝑁 = 𝑀𝑎, 𝑁 𝑟 = 𝐼𝜀 = 1 2 𝑚𝑟2 ⋅ 𝑎 𝑟 ⇒ 𝑁 = 1 2 𝑚𝑎. Stąd 𝑎 = 𝑀𝑔 𝑀+𝑚/2 = 50 5+5 = 5 m/s2.
Podpunkt 28.2
Masa wody 20 kg, więc objętość wiadra 𝑉 = 0,02 m3. Przy pełnym zanurzeniu woda w wiadrze jest w równowadze z otoczeniem, naciąg równoważy tylko ciężar blachy: 𝐹 = 50 N. Gdy wiadro wynurza się, 𝐹 rośnie liniowo z 𝐿 (ubywa wyporu) aż do 𝐹 = 250 N przy 𝐿 = 0,4 m; dalej 𝐹 = 250 N = const. 𝐿, m 𝐹 , N 0,4
Podpunkt 28.3
W układzie wiadra (nieinercjalnym, przyspieszenie w górę) na wodę działa dodatkowo siła bezwładności zwrócona w dół, sumująca się z ciężarem – wypadkowy nacisk na dno 𝑚(𝑔 + 𝑎) jest większy niż 𝑚𝑔. (W układzie inercjalnym: dno musi nadać wodzie przyspieszenie, więc 𝑁 − 𝑚𝑔 = 𝑚𝑎.)