Motorówka na rzece
Źródło: Matura fizyka rozszerzona 1.2 — Matura maj 2013, stara formuła, poziom rozszerzony, zad. 1
Motorówka pływała wzdłuż prostego brzegu rzeki z prądem i pod prąd; jej prędkość względem wody była stała, prędkość nurtu też stała (mniejsza). Z wykresu prędkości względem brzegu: przez pierwsze 10 min 5 m/s (z prądem), przez kolejne 20 min 3 m/s (pod prąd).
Podpunkt 1.1
Oblicz drogę przebytą w ciągu 30 minut. (0–2 pkt)
Podpunkt 1.2
Oblicz prędkość motorówki względem wody. (0–2 pkt)
Podpunkt 1.3
Narysuj wykres położenia 𝑥(𝑡) (oś 𝑥 zgodnie z nurtem, 𝑥0 = 0). (0–3 pkt)
Podpunkt 1.4
Z przystani A wyruszają jednocześnie dwie motorówki o tej samej prędkości 𝑣 względem wody: jedna po jeziorze, druga po rzece płynącej z A do B z prędkością 𝑢. Obie płyną do przystani B (ta sama odległość) i wracają. Która wróci wcześniej? Uzasadnij. (0–2 pkt)
Odpowiedź
Podpunkt 1.1
Droga: 6600 m.
Podpunkt 1.2
Prędkość względem wody: 4 m/s; prędkość nurtu: 1 m/s.
Podpunkt 1.3
Wykres jest łamaną przez punkty (0 min; 0 m), (10 min; 3000 m), (30 min; −600 m).
Podpunkt 1.4
Wcześniej wróci motorówka na jeziorze: , natomiast .
Rozwiązanie
Podpunkt 1.1
𝑠 = 5 ⋅ 600 + 3 ⋅ 1200 = 3000 + 3600 = 6600 m.
Podpunkt 1.2
𝑣 + 𝑢 = 5, 𝑣 − 𝑢 = 3 ⇒ 𝑣 = 4 m/s (nurt 𝑢 = 1 m/s).
Podpunkt 1.3
Od 0 do 10 min: odcinek prostej od (0; 0) do (10 min; 3000 m); od 10 do 30 min: odcinek malejący do (30 min; −600 m) (przemieszczenie −3600 m).
Podpunkt 1.4
Jezioro: 𝑡𝑗 = 2𝑠 𝑣 . Rzeka: 𝑡𝑟 = 𝑠 𝑣+𝑢 + 𝑠 𝑣−𝑢 = 2𝑠𝑣 𝑣2−𝑢2 = 2𝑠 𝑣 ⋅ 1 1−𝑢2/𝑣2 > 𝑡𝑗. Wcześniej wróci motorówka na jeziorze.