Matura maj 2026 (formuła 2023), zad. 7

$x = \frac{k \pi}{2}$ lub $x = \frac{\pi}{1 2} + \frac{k \pi}{2}$ lub $x = - \frac{\pi}{1 2} + \frac{k \pi}{2}$ , gdzie $k \in Z$ .

Podstawiamy $t = 2 x$ i korzystamy ze wzoru na sinus potrojonego kąta $\sin 3 t = 3 \sin t - 4 \sin ^{3} t$ (można go wyprowadzić:

). Równanie przyjmuje postać $3 \sin t - 4 \sin ^{3} t - 2 \sin t = 0 \iff \sin t - 4 \sin ^{3} t = 0 \iff \sin t ( 1 - 4 \sin ^{2} t ) = 0 .$

1) $\sin t = 0$ , czyli $\sin 2 x = 0$ : $2 x = k\pi$ , więc $x = \frac{k \pi}{2}$ , $k \in Z$ .

2) $\sin ^{2} t = \frac{1}{4}$ . Z wzoru $\cos 2 t = 1 - 2 \sin ^{2} t$ dostajemy $\cos 2 t = \frac{1}{2}$ , czyli $\cos 4 x = \frac{1}{2}$ : $4 x = \frac{\pi}{3} + 2 k \pi$ lub $4 x = - \frac{\pi}{3} + 2 k \pi$ $\implies x = \frac{\pi}{1 2} + \frac{k \pi}{2}$ lub $x = - \frac{\pi}{1 2} + \frac{k \pi}{2} .$

(To samo da się otrzymać, rozwiązując osobno $\sin 2 x = \frac{1}{2}$ i $\sin 2 x = - \frac{1}{2}$ .)

Odpowiedź: $x = \frac{k \pi}{2}$ lub $x = \frac{\pi}{1 2} + \frac{k \pi}{2}$ lub $x = - \frac{\pi}{1 2} + \frac{k \pi}{2}$ , gdzie $k \in Z$ .