Planeta o masie trzy razy mniejszej od Ziemi
Źródło: Matura fizyka rozszerzona 5.4 — Matura maj 2014, stara formuła, poziom rozszerzony, zad. 6
Planeta ma masę 3 razy mniejszą od masy Ziemi (𝑀𝑍 = 5,98 ⋅ 1024 kg) i promień 4,59 ⋅ 106 m. Okres wahadła matematycznego o długości 1 m: na równiku 2,52 s (𝑔 = 6,22 m/s2), na biegunie 2,50 s (𝑔 = 6,31 m/s2).
Podpunkt 6.1
Wykaż, że 𝑔 na biegunie jest zgodne z masą i promieniem planety. (0–2 pkt)
Podpunkt 6.2
Wykaż, że 𝑔 na równiku jest zgodne z okresem wahadła. (0–1 pkt)
Podpunkt 6.3
Różnica wartości 𝑔 wynika z obrotu planety. Oblicz okres obrotu. (0–3 pkt)
Podpunkt 6.4
Statek tuż po starcie ma prędkość 8 km/s. Czy oddali się na dowolnie dużą odległość? (0–2 pkt)
Odpowiedź
Podpunkt 6.1
Przyspieszenie: około 6,31 m/s².
Podpunkt 6.2
Z pomiaru wahadłem: około 6,22 m/s².
Podpunkt 6.3
Okres obrotu: około 4,5·10⁴ s (12,5 h).
Podpunkt 6.4
Tak: prędkość ucieczki wynosi około 7,6 km/s, mniej niż 8 km/s, przy pominięciu oporów.
Rozwiązanie
Podpunkt 6.1
𝑔 = 𝐺𝑀 𝑅2 = 6,67⋅10−11⋅ 1 3 ⋅5,98⋅1024 (4,59⋅106)2 ≈ 6,31 m/s2.
Podpunkt 6.2
𝑔 = 4𝜋2𝑙 𝑇 2 = 4𝜋2 2,522 ≈ 6,22 m/s2.
Podpunkt 6.3
Na równiku część siły grawitacji pełni rolę siły dośrodkowej: 𝑔𝑏 − 𝑔𝑟 = 𝜔2𝑅: 𝜔 = √ 0,09 4,59 ⋅ 106 ≈ 1,4 ⋅ 10−4 s−1, 𝑇 = 2𝜋 𝜔 ≈ 4,5 ⋅ 104 s ≈ 12,5 h.
Podpunkt 6.4
𝑣𝐼𝐼 = √ 2𝐺𝑀 𝑅 = √2𝑔𝑅 = √2 ⋅ 6,31 ⋅ 4,59 ⋅ 106 ≈ 7,6 km/s < 8 km/s – tak (pomijając opory atmosfery).