Statek kosmiczny w pobliżu Marsa
Źródło: Matura fizyka rozszerzona 5.3 — Matura maj 2011, stara formuła, poziom rozszerzony, zad. 2
Statek (50 t) z wyłączonymi silnikami przelatuje na wysokości 500 km nad Marsem (𝑀 = 6,4 ⋅ 1023 kg, 𝑅 = 3,4 ⋅ 106 m).
Podpunkt 2.1
Oblicz przyspieszenie swobodnego spadku na powierzchni Marsa. (0–2 pkt)
Podpunkt 2.2
Oblicz prędkość ucieczki i prędkość orbitalną (kołową) na wysokości 500 km. Statek ma tam prędkość poziomą 4 ⋅ 103 m/s. Czy jego odległość od planety będzie stała, malała, rosła stale, czy rosła, a potem malała? Uzasadnij. (0–3 pkt)
Podpunkt 2.3
W końcowej fazie lądowania lądownik opada pionowo z opóźnieniem 11 m/s2. Opisz siły działające na astronautę i siłę wypadkową. (0–3 pkt)
Podpunkt 2.4
Masa astronauty 80 kg, 𝑔𝑀 = 3,7 N/kg. Oblicz siłę nacisku na fotel. (0–1 pkt)
Podpunkt 2.5
Na Ziemi okresy wahadła sprężynowego i matematycznego były jednakowe. Czy na Marsie też będą? Uzasadnij. (0–2 pkt)
Odpowiedź
Podpunkt 2.1
Przyspieszenie grawitacyjne: około 3,7 m/s².
Podpunkt 2.2
Orbita eliptyczna; statek jest w perycentrum, więc odległość najpierw rośnie, a potem maleje.
Podpunkt 2.3
Ciężar w dół, reakcja fotela w górę i większa od ciężaru; wypadkowa skierowana w górę.
Podpunkt 2.4
Nacisk: około 1180 N.
Podpunkt 2.5
Na Marsie dłuższy okres ma wahadło matematyczne; okres sprężynowego nie zależy od g.
Rozwiązanie
Podpunkt 2.1
𝑔 = 𝐺𝑀 𝑅2 = 6,67⋅10−11⋅6,4⋅1023 (3,4⋅106)2 ≈ 3,7 m/s2.
Podpunkt 2.2
𝑟 = 3,9⋅106 m: 𝑣𝐼𝐼 = √ 2𝐺𝑀 𝑟 ≈ 4,7 km/s, 𝑣𝐼 = √ 𝐺𝑀 𝑟 ≈ 3,3 km/s. Ponieważ 𝑣𝐼 < 4 km/s < 𝑣𝐼𝐼 , statek porusza się po elipsie, a punkt, w którym prędkość jest prostopadła do promienia i większa od kołowej, jest perycentrum: odległość rośnie, a potem maleje.
Podpunkt 2.3
Na astronautę działają ciężar⃗ 𝑄 (w dół) i siła reakcji fotela⃗ 𝑁 (w górę), 𝑁 > 𝑄. Ruch w dół jest opóźniony, więc przyspieszenie (i wypadkowa⃗ 𝑊 =⃗ 𝑁 +⃗ 𝑄) jest skierowane w górę, 𝑊 = 𝑚𝑎.
Podpunkt 2.4
𝑁 − 𝑚𝑔 = 𝑚𝑎 ⇒ 𝑁 = 𝑚(𝑔 + 𝑎) = 80 ⋅ (3,7 + 11) ≈ 1180 N; z III zasady dynamiki nacisk na fotel ma tę samą wartość.
Podpunkt 2.5
Okres wahadła sprężynowego 𝑇 = 2𝜋√ 𝑚 𝑘 nie zależy od 𝑔, a matematycznego 𝑇 = 2𝜋√ 𝑙 𝑔 rośnie, gdy 𝑔 maleje. Na Marsie dłuższy okres ma wahadło matematyczne.