Planetoida Apophis
Źródło: Matura fizyka rozszerzona 5.1 — Matura maj 2008, stara formuła, poziom rozszerzony, zad. 5
Planetoida Apophis: masa 8 ⋅ 1010 kg, średnica 390 m, średnia odległość od Słońca 0,922 AU, peryhelium 0,746 AU, aphelium 1,098 AU. Prędkość względem Ziemi w razie zderzenia ok. 13 km/s.
Podpunkt 5.1
Oszacuj przyspieszenie grawitacyjne na powierzchni (jednorodna kula). (0–1 pkt)
Podpunkt 5.2
W którym punkcie orbity prędkość jest najmniejsza? Uzasadnij, podając treść odpowiedniego prawa. (0–3 pkt)
Podpunkt 5.3
Oszacuj okres obiegu w dniach (orbita kołowa, 1 AU, rok 365 dni). (0–3 pkt)
Podpunkt 5.4
Wykaż, że pierwsza prędkość kosmiczna dla Apophis wynosi ok. 0,165 m/s. (0–2 pkt)
Podpunkt 5.5
Oblicz maksymalną energię wydzieloną przy zderzeniu z Ziemią w megatonach (1 MT ≈ 4 ⋅ 1015 J). (0–3 pkt)
Odpowiedź
Podpunkt 5.1
Przyspieszenie: około 1,4·10⁻⁴ m/s².
Podpunkt 5.2
Najmniejsza prędkość w aphelium, zgodnie z II prawem Keplera.
Podpunkt 5.3
Okres: około 323 dni.
Podpunkt 5.4
Pierwsza prędkość kosmiczna: około 0,165 m/s.
Podpunkt 5.5
Energia: około 6,8·10¹⁸ J (około 1700 MT).
Rozwiązanie
Podpunkt 5.1
𝑔 = 𝐺𝑀 𝑟2 = 6,67⋅10−11⋅8⋅1010 1952 ≈ 1,4 ⋅ 10−4 m/s2.
Podpunkt 5.2
W aphelium. II prawo Keplera: promień wodzący planety (planetoidy) zakreśla w równych odstępach czasu równe pola – daleko od Słońca, przy dłuższym promieniu, łuk przebyty w tym samym czasie musi być krótszy.
Podpunkt 5.3
III prawo Keplera: 𝑇 = 𝑇𝑍 ( 𝑎 1 AU )3/2 = 365 ⋅ 0,9221,5 ≈ 323 dni.
Podpunkt 5.4
𝑣𝐼 = √ 𝐺𝑀 𝑟 = √ 6,67⋅10−11⋅8⋅1010 195 ≈ 0,165 m/s.
Podpunkt 5.5
𝐸 = 𝑚𝑣2 2 = 8⋅1010⋅(1,3⋅104)2 2 ≈ 6,8 ⋅ 1018 J ≈ 1700 MT.