Bryła z obręczy i dwóch prętów toczy się pod górę
Bryła ℬ składa się z obręczy (masa 𝑀 , promień 𝑅) i dwóch prętów-średnic (każdy o długości 2𝑅 i masie 𝑀/2) skrzyżowanych w środku 𝑂. Na poziomym odcinku 𝑋𝑌 toczy się bez poślizgu ze stałą prędkością środka masy 𝑣ℬ = 1,4 m/s, a od punktu 𝑌 wtacza się bez poślizgu na równię, zwalniając. 𝑃1 – punkt styku na odcinku poziomym, 𝑃2 – na równi (równia wznosi się w prawo, bryła jedzie w prawo). Dane: 𝐼pręta = 1 12 𝑚𝑙2 (oś przez środek), 𝐼obręczy = 𝑀𝑅2; 𝑔 = 9,8 m/s2.
Podpunkt 4.1
W punkcie 𝑃1 siła tarcia: A. nie działa, B. zależy od prędkości, C. jest skierowana w lewo, D. jest skierowana w prawo. (0–1 pkt)
Podpunkt 4.2
W punkcie 𝑃2 siła tarcia: A. nie działa, B. zależy od prędkości, C. jest skierowana w lewo (w dół równi), D. jest skierowana w prawo (w górę równi). (0–1 pkt)
Podpunkt 4.3
Oceń (P/F):
1. Moment siły ciężkości bryły względem punktu 𝑃2 jest równy zeru.
2. Moment pędu bryły względem 𝑂 jest zachowany podczas ruchu po równi. (0–1 pkt)
Podpunkt 4.4
Wykaż, że 𝐼𝑂 = 4 3 𝑀𝑅2. (0–2 pkt)
Podpunkt 4.5
Oblicz maksymalne wzniesienie środka masy Δℎ𝑚𝑎𝑥 na równi. (0–3 pkt)
Odpowiedź
Podpunkt 4.1
A: tarcie nie działa.
Podpunkt 4.2
D: tarcie jest skierowane w górę równi (w prawo).
Podpunkt 4.3
Kolejno: F, F.
Podpunkt 4.4
.
Podpunkt 4.5
Maksymalne wzniesienie: około 0,17 m.
Rozwiązanie
Podpunkt 4.1
A. Ruch jest jednostajny (𝑣 = const, 𝜔 = const), więc wypadkowa i wypadkowy moment sił są równe zeru. Siła tarcia musiałaby dawać niezrównoważony moment, więc nie działa.
Podpunkt 4.2
D. Na równi bryła zwalnia, więc jej prędkość kątowa też musi maleć. Wymaga to momentu skierowanego przeciwnie do obrotu, który daje tylko tarcie działające w górę równi (w prawo). (Inaczej: składowa ciężaru wzdłuż równi daje opóźnienie 𝑔 sin 𝛽, a tarcie skierowane w górę zmniejsza je do 𝑔 sin 𝛽 1+𝑘 .)
Podpunkt 4.3
F, F.
1. Linia działania ciężaru przechodzi przez 𝑂, a na równi 𝑂 nie leży pionowo nad 𝑃2, więc ramię względem 𝑃2 jest niezerowe.
2. Tarcie daje niezerowy moment względem 𝑂, więc 𝜔 (i moment pędu) maleje.
Podpunkt 4.4
Momenty bezwładności względem tej samej osi się sumują: 𝐼𝑂 = 𝑀 𝑅2 + 2 ⋅ 1 12 ⋅ 𝑀 2 ⋅ (2𝑅)2 = 𝑀𝑅2 + 2 ⋅ 𝑀𝑅2 6 = 4 3 𝑀𝑅2.
Podpunkt 4.5
Masa bryły 𝑚ℬ = 𝑀 + 2 ⋅ 𝑀 2 = 2𝑀 . Bez poślizgu tarcie nie wykonuje pracy, więc energia mechaniczna jest zachowana: 2 (2𝑀)𝑣2 + 1 2 ⋅ 4 3 𝑀𝑅2 ⋅ 𝑣2 𝑅2 = 2𝑀𝑔Δℎ ⇒ 5 3 𝑀𝑣2 = 2𝑀𝑔Δℎ, Δℎ𝑚𝑎𝑥 = 5𝑣2 6𝑔 = 5 ⋅ 1,96 6 ⋅ 9,8 ≈ 0,17 m.